El nacimiento de las Matemáticas

La historia general de las ciencias parece haber seguido un progreso indiscutible. Se suele decir entre los teóricos de las ciencias que estas son el reflejo más honesto de un progreso intelectual de toda la humanidad. ¿Por qué? Porque ellas mismas se van transformando, van siendo capaces de explicar mayor cantidad de eventos y, poco a poco, consiguen borrar de su seno todas sus imperfecciones. ¿Qué sería del mundo político, por ejemplo, si pudiésemos aprender de todos los errores del pasado? Por eso es tan común la distinción entre ciencias humanas y ciencias naturales, o ciencias sociales y ciencias puras. Ambos tipos de ciencia son intentos legítimos de explicar y comprender realidades que tienen lugar en nuestro mundo. Si decidiésemos preocuparnos sólo por las ciencias naturales, correríamos el riesgo de olvidarnos del objeto de estudio reflexivo que suponen las ciencias humanas. Pero, ¿no es una contradicción el estudio del fenómeno humano, habida cuenta de que el sujeto investigador tiene como objeto a sí mismo? Por eso hay quien dice que las ciencias humanas tendrían que adoptar un enfoque más propio del de las ciencias naturales. En esta línea, las ciencias naturales tienen en las matemáticas su mejor amiga. Las matemáticas se han utilizado en numerosas ciencias naturales y las demás ciencias sociales, como modo más o menos aventurado de probar su cientificidad, han echado mano de las matemáticas. 

Sin embargo, las matemáticas no son, históricamente, tan infalibles como ha parecido. Resulta que para la mayoría de los filósofos importantes las matemáticas fueron aquello a lo que agarrarse en épocas de incertidumbre. Y no solo en épocas sino también en proyectos intelectuales. Si, como decía Descartes, las matemáticas habían tenido tanto éxito dentro del conjunto de las ciencias, ¿por qué no tratar de aplicar sus principios al resto de las mismas, incluidas la disciplina filosófica? Hay que pensar que Descartes, mediante esta intuición, estaba dando voz a un sentimiento generalizado en su época: querer matematizarlo todo. Un siglo más tarde nos encontraríamos con Leibniz, principal valedor de la "Mathesis Universalis", que buscaban no sólo una explicación del mundo en el que vivían sino que esta explicación estuviese realizada a través de la herramienta más perfecta que había creado el ser humano: las matemáticas. Siglos más tarde, con Russell y Gödel (entre otros) encontraríamos bastantes problemas para sostener esta postura y las matemáticas se someterían a la revisión que, tarde o temprano, toda ciencia recibe por parte de aquellos que la interrogan críticamente.* ((Este párrafo lo adelanté hace varios posts))

A pesar de esto, las matemáticas tienen un estatuto históricamente mucho más firme y apenas han variado los axiomas que funcionaron hace más de 2000 años, en el nacimiento de las mismas. Tomando el caso de las matemáticas anteriores a los griegos comprobamos que esta ciencia estaba en manos de los sacerdotes (egipcios, por ejemplo) y que la tomaban como un saber tradicional. Si se les preguntaba por cómo habían llegado a determinado resultado ellos respondían diciendo que siempre había sido así y siempre había funcionado. Así, parece ser que al llegar a Grecia las matemáticas perdieron su función práctica y fueron sometidas al resto de críticas filosóficas que eran habituales en filósofos de la talla de Platón o el propio Tales. Este último, a pesar de que no queden registros de su camino hacia la elaboración de determinadas leyes o axiomas, sí que se molestó en resumir los principios más básicos. Las matemáticas tal y como las entendemos hoy en día nacieron junto a la filosofía (tal y como la entendemos hoy en día, también). Una filosofía que dejaba de tener un interés mitológico y que, aunque no lo abandonase, se afiliaba al discurso razonado como un método racional de solución de problemas o de alcance de la verdad. 

Así, en la escuela de Platón se podía leer en la entrada: que no entre nadie que no sepa geometría. Hasta tal punto era importante el conocimiento matemático aplicado a los cuerpos planos o volumétricos y sus formas.

La imagen que es preciso tener de las matemáticas tiene que pasar por los filtros históricos convenientes. Principalmente porque sabemos que no se puede hablar del estado de una ciencia hace 2000 años en los mismos términos que de la misma en la actualidad. Un ejemplo de esto es cuando (bajo un error grave, a mi parecer) se intenta estudiar un fenómeno pasado aplicando los criterios de la actualidad. Si entendemos las matemáticas como una ciencia cuyos principios han variado históricamente entonces no podemos pensar que los matemáticos hayan actuado de la misma manera a lo largo del tiempo. Un ejemplo es el siguiente: 

Proclo dice en un comentario de sus obras que Tales hizo avances importantes en el terreno de las matemáticas pero lo que realmente hizo fue sistematizar los conocimientos que había disponibles. La idea cuando hablamos de sistematizar es ver qué teoremas se deducen de ciertos axiomas. Sin embargo, cuando hablamos de las matemáticas en Grecia hablamos de Pitágoras y de los pitagóricos: de la secta pitagórica. En esta secta las matemáticas tienen un carácter religioso y no se pueden estudiar desvinculadas de ello. Para ellos, las matemáticas son una parte del lenguaje que permite entender el universo. La aritmética para los pitagóricos fue fundamental antes del giro hacia la geometría: proporcionaba los fundamentos necesarios para profundizar y comprender una estructura perfecta que es lo que entendemos por universo. Sin embargo, para ellos la geometría es mera representación espacial, y esta geometría tiene, como ya he dicho antes, una proyección institucional, disciplinaria: es preciso aprenderla para poder entrar en la secta y vivir como pitagórico.

Y esto nos lleva al caso de Platón. Por lo que a él respecta, la reflexión matemática debería tomar como objeto la forma misma de los objetos, no su representación material o sensible, sino su forma eidética. En el fondo Platón busca una especie de análisis basado en elementos puramente ideales. No tenemos nada claro cuáles son sus axiomas en la matemática ya que, además, emplea un método analítico diferente al de la matemática deductiva: partimos de los axiomas para demostrar algo. Utilizamos los problemas que tenemos a mano para poder deducir la proposición en particular. Platón no trabaja así, el método analítico de Platón, que luego fue heredado, es un método invertido, contrario al que acabo de mencionar. ¿Por qué? Porque sabe que la cadena entre las premisas y la conclusión a veces no es obvia. Intenta remontarse a los fundamentos desde los que podríamos deducir esa proposición, esos fundamentos podrían ser hipótesis. El método es lo que solemos conocer como análisis: disolución de la proposición que tratamos de entender. Luego Platón lo que hace es comprobar si en la síntesis esas conclusiones son realmente suficientes. En Platón hay un método de análisis y luego un proceso de síntesis para saber si hemos desarrollado la prueba demostrativa que queríamos obtener.

Si cometiésemos el error de asomarnos a este problema aplicando criterios actuales entonces resolveríamos la cuestión diciendo que estos matemáticos pecan de una grave falta de rigor científico. Nuestra crítica a esta imagen que ha emergido del desarrollo de la matemática griega y pre-griega se basa en lo siguiente: ellos se preocupaban mucho más por la cuestión funcional o instrumental. Los sacerdotes egipcios sabían que si aplicaban esos principios conseguían buenos resultados: sabían que funcionaba pero no por qué funcionaba. Y hoy, la ciencia y la tecnología no funcionan así. Bajo la perspectiva actual podríamos decir que la matemática primigenia era a-científica, ¿dónde quedaban los principios o axiomas mas que en el rincón de la tradición?

En resumen, mi visión del estatuto científico de las matemáticas no es novedosa y, de hecho, se encuentra compartida por bastantes teóricos de la ciencia. Además, es una visión compatible con el hecho de que los axiomas de las matemáticas habían permanecido inalterables e incuestionados hasta principios del siglo XX (con Gödel, por ejemplo). Este giro metodológico se ocupaba más de la teoría (causas, presupuestos implícitos…) que de que fuesen teorías válidas y efectivas en la práctica. El siglo XX fue testigo de la revisión de muchos principios que habían parecido firmes e incontestables tanto en ciencia como en el mundo social.

Francisco Riveira

En Estambul, Turquía.